接下来，熊猫考试网将带你认识并了解高二数学竞赛试题，希望可以给你带来一些启示。
今天的创新杯数学竞赛高二试题
创新杯数学竞赛试题
一、选择题(5’×10＝50’) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的字母填在下面的表格中。明阳教育
1．与30以内的奇质数的平均数
最接近的数是
A．12 B．13 C．14 D．15
2．把10个相同的小正方体按如图所示的位置堆放，它的外表含有
若干个小正方形，如图将图中标有字母A的一个小正方体搬去，
这时外表含有的小正方形个数与搬动前相比
A．不增不减 B．减少1个
C．减少2个 n．减少3个
3．一部电视剧共8集，要在3天里播完，每天至少播一集，则安排
播出的方法共有__种。
A．21 B．22 C．23 D．24
4．甲、乙、丙三人出同样多的钱买同样的笔记本，最后甲、乙都比丙多得3本，甲、乙都给了丙2.4元，那么每本笔记本的价格是__元．
A．0.8 B．1.2 C．2.4 D．4.8
5．用0，1，2，…，9这十个数字组成一个四位数，一个三位数，一个两位数与一个一位数，每个数字只许用一次，使这四个数的和等于2007，则其中三位数的最小值是：C，1736+204+58+9=2007
A．201 B．203 C．204 D．205
6．有2007盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着，拉一下拉线开关灯会由亮变灭，再拉一下又由灭变亮，现按其顺序将灯编号为1，2，…，2007，然后将编号为2的倍数的灯线都拉一下，再将编号为3的倍数的灯线都拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线都拉一下，三次拉完后亮着的灯有盏．
A．1004 B．1002 C．1000 D．998
7．已知一个三位数的百位、十位和个位分别是a，b，c，而且a×b×c=a+b+c，那么满足上述条件的三位数的和为
A．1032 B，1132 C．1232 D．1332
8．某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题．已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是
A．29 B．31 C．33 D．35
9．一个三角形将平面分成2个部分，2个三角形最多将平面分成8个部分，…，那么5个三角形最多能将平面分成的部分数是
A．62 B．92 C．512 D．1024
10．一条单线铁路上有5个车站A，B，C，D，E，它们之间的路程如图所示．两辆火车同时从A，E两站相对开出，从A站开出的每小时行60千米，从E站开出的每小时行50千米．由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道，要使对面开来的列车通过，必须在车站停车，才能让开行车轨道．那么应安排在某个站相遇，才能使停车等候的时间最短．先到这一站的那一列火车至少需要停车的时间是
二、填空题(5’×12二60’)
11．观察5*2＝5十55二60，7*4＝7+77+777+7777＝8638，推知9* 5的值是_111105__•
12．如图，将宽2米的一些汽车停在长度为30米的未划停
车格的路边，最好的情况下可停15_部车，最差的情况下可停_8__部车．
13.如图，一个圆被四条半径分成四个扇形，每个扇形的周长为7.14cm，那么该圆的面积为12.56__cm2(圆周率π取3.14)．
14．按以下模式确定，在第n个正方形内应填人的数是(n+1)( n+2)( n+3)-3n-7__，其中，n是非零的自然数．
15．篮子里装有不多于500个苹果，如果每次二个，每次三个，每次四个，每次五个，每次六个地取出来，篮子中都剩下一个苹果，而如果每次七个地取出，那么没有苹果剩下，篮子中共有苹果__301__个．
16．一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎．我们遇到该国居民A，B，C，A说：“如果C是骑士，那么B是无赖．”C说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖．”那么这三个人中_B是骑士，_AC_是无赖．
17．甲、乙两人对同一个数做带余数除法，甲将它除以8，乙将它除以9，现知甲所得的商数与乙所得的余数之和为13，那么甲所得的余数是4•
明阳
18．如图，以△ABC的两条边为边长作两个正方形BDEC和ACFG，已知S△ABC:S四边形BDEC＝2:7，正方形BDEC和正方形 ACFG的边长之比为3：5，那么△CEF与整个图形面积的最简整数比是__9：137•
19．一个口袋中装有3个一样的球，3个球上分别写有数字2，3和4．若第一次从袋子中取出一个球，记下球上的数字a，并将球放回袋中．第二次又从袋子中取出一个球，记下球上的数字b．然后算出它们的积．
则所有不同取球情况所得到的积的和是_53_
20．如图，A，B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点， 同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点相遇．在D点第二次相遇．已知C点离A点80米，D点离B点60米．则这个圆的周长是_360__米．明阳教育
21．九个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有4个．
22．把从1开始的奇数1，3，5，…，排成一行并分组，使得第n组有n个数，即
(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…
那么2007位于第45_组，是这一组的第27个数．
三、解答题(共40分)
23．(20分)如图，A，B两地相距1500米，实线表示甲上午8时由A地出发往B地行走，到达B地后稍作休息，又从B地出发返回A地的步行情况；又虚线表示乙上午8时从B地出发向A地行走，到了A地，立即返回B地的步行情况．
(1)观察此图，解下列问题：
①甲在B地休息了多长时间算一算，休息前、后步行的各是多少15分，75、75
②乙从B地到A地，又从A地到B地的步行各是多少50、50
(2)甲、乙二人在途中相遇两次，结合图形、算一算，第一次，第二次相遇的时刻各是几点几分8：12，8：45
24．(20分)
如上图，将2008个方格排成一行，在最左边的方格中放有一枚棋子，甲、乙二人交替地移动这枚棋子，甲先乙后，每人每次可将棋子向右移动若干格，但移动的格数不能是合数，将棋子移到最右边格子的人获胜．
(1)按每人每次移动的格子数分类，有哪4类走法
共以下4类走法：1、两人移动的棋子格数为即不是质数，也不是合数的数字：1
2、个位数字为2的质数：2
3、个位数字为5的质数：5
4、个位数字为1、3、7、9的质数。
也有老师认为这样分：奇奇、奇偶，偶偶，偶奇。即指两人拿的奇偶性来分。但是我认为这样分的话，和下面“对于乙的四类走法”这句问话想矛盾。
请大家发表自己的看法，你们是怎么分的呢？
(2)如果甲第1次走了3格，对于乙的四类走法，甲应分别采取怎样的对策才能保证自己(甲)一定获胜并简单说明，为什么采取这样的对策，甲一定获胜
甲第一次移了3格后，剩下2004。现在轮到乙移。乙移动后又该轮到甲。也就是说甲总是最后移。所以甲要想获胜，他倒数每二次拿后一定要留下至少4个，这样乙才不能拿完。这样甲就必胜。
当乙拿1个时，甲就拿3个，或者其他和1加起来是4的倍数的质数。这样就会留下4的倍数个格子。最后甲必胜。
当乙拿2个，甲也拿2个。保证甲留的是4的倍数。
当乙拿5个及和其他质数也同样的道理。只要甲每次在乙拿完后，再拿和乙加起来是4的倍数的数。这样，最后总是甲胜。
求数学竞赛高中的试题什么的
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题及参考答案 (考试时间：120分钟满分150分)一、(本题满分50分)如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F.O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心.求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.二、(本题满分50分)如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.三、(本题满分50分)设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整数.求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n.2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、(本题满分50分)如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点.过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为F.O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心.求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心.证明：连结BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1.因为PD⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F四点共圆，且BP为该圆的直径.又因为O1是△BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中点.同理可证C、D、P、E四点共圆，且O2是CP的中点.综合知O1O2∥BC，所以∠PO2O1=∠PCB.因为AF·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、E、F四点共圆.充分性：设P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O1、P、E四点共线，C、O2、P、F四点共线，∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1，故O1、O2、E、F四点共圆.必要性：设O1、O2、E、F四点共圆，故∠O1O2E+∠EFO1=180°.由于∠PO2O1=∠PCB=∠ACB-∠ACP，又因为O2是直角△CEP的斜边中点，也就是△CEP的外心，所以∠PO2E=2∠ACP.因为O1是直角△BFP的斜边中点，也就是△BFP的外心，从而∠PFO1=90°-∠BFO1=90°-∠ABP.因为B、C、E、F四点共圆，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°-∠ACB.于是，由∠O1O2E+∠EFO1=180°得(∠ACB-∠ACP)+2∠ACP+(90°-∠ABP)+(90°-∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP.又因为AB<AC，AD⊥BC，故BD<CD.设B′是点B关于直线AD的对称点，则B′在线段DC上且B′D=BD.连结AB′、PB′.由对称性，有∠AB′P=∠ABP，从而∠AB′P=∠ACP，所以A、P、B′、C四点共圆.由此可知∠PB′B=∠CAP=90°-∠ACB.因为∠PBC=∠PB′B，故∠PBC+∠ACB=(90°-∠ACB)+∠ACB=90°，故直线BP和AC垂直.由题设P在边BC的高上，所以P是△ABC的垂心.二、(本题满分50分)如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求.其原因如下：如果一个方格在第i行第j列，则记这个方格为(i，j).第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连.用反证法.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格.同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，
数学高中奥林匹克竞赛试题
分别作以这三个圆为大圆的三个球，原来的三对外公切线现在为三个圆维的母线．此时三个圆维中每一个都正好放进两个球．三个圆维顶点在三个球心所在在平面ɑ上。
又设想一平面β搁在三个球上与三个球都相切，从而也与三个圆锥相切，所以三个圆锥顶点必在β上，即三顶点在α、β的交线上，即三顶点共线．
